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函数求值域问题

总共10种求值域问题的方法,比较全,有例题,习题练习单独作一份讲义。

函 数 求 值 域 问 题

一.观察法: “直线类,反比例函数类”用此方法; 例1:函数y

x 2

, 显然其值域为y ( ,0) (0, ).

二.配方法.:“二次函数”用配方法求值域; 例2. 求函数y 3x2 x 2

x ( 3,5]的值域;

6

12

解:求函数y 3x2 x 2=3(x 1)2 23画出图像(图略)从图可知

x

1

时,y6

min

23

;x 5时,y12

max

3(5

231223

,72]. ) 72.所以值域为[12612

例3. 求函数y

2

x2 6x 5 的值域;

解:设 x 6x 5,则 0; x2 6x 5 (x 3)2 4 4; 又 0, 0 4. 三.换元法: ①形如y

1

的函数,可令f(x) t; f(x)

[0,2], 值域为[0,2].

②形如y ax b cx d(ac 0)的函数,可令t cx d;

③形如y a2 x2的函数,可令x acos , [0, ]或令x asin , [ 例4. 求函数y 2x 4 x的值域

解:设t x 0则x 1 t2, y 2t2 4t 2 2(t 1)2 4 4, 值域为 ,4 . 四.判别式法:

b

型:直接用不等式性质2

k+x

bx

b. y 2型,先化简,再用均值不等式

x mx n

x11

例:y

121+x2

x+x

x2 m x n

c.. y 2型 通常用判别式

x mx nx2 mx n

d. y 型

x n

法一:用判别式a. y

法二:用换元法,把分母替换掉

2

x2 x 1(x+1) (x+1)+1 1

例:y (x+1) 1 2 1 1

x 1x 1x 1

,]等.

22

例5.求函数y

x 1

的值域. x 2x 2

2

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